
\documentclass[12pt,norsk,a4paper]{IMFeksamen} 
% Opsjonen 'norsk' kan byttes ut med 'nynorsk' eller 'english'

\usepackage[latin1]{inputenc} 



\begin{document}
Kontakt under eksamen: \newline
Rupali Akerkar  \qquad (40 33 20 37  ) \newline
\Eksamen{EKSAMEN I TMA4275 LEVETIDSANALYSE}
{
\centering 
Onsdag 30. mai 2012 \\
Tid: 09:00 -- 13:00  \\
}
Tillatte hjelpemidler: \newline
Statistiske tabeller og formler (Tapir forlag)\\
Godkjent kalkulator (HP30S)\\
K. Rottmann: Matematisk formelsamling\\
Ett gult ark (A4 med stempel) med dine egne formler og notater


%\vspace{1cm}

Sensur: 20. juni 2012 %%Sensurdata

\begin{oppgave}

Et tilfeldig utvalg p\aa\ $ n = 100 $ enheter ble satt under test p\aa\ et bestemt tidspunkt, og testen ble kj\o rt til $ t_{c} = 1000$ timer, da $ R = 20 $ enheter hadde sviktet. De rapporterte feiltidene ble notert. Vi kan betegne disse ved $ t_1, \cdots, t_{20} $. Basert p\aa\ fysisk kunnskap om sviktmekanismen, tror ingeni\o rer at en en-parameter eksponentialfordeling kan brukes til \aa\ beskrive feiltiden. Den eksponensielle
 kumulative fordelingsfunksjonen (CDF) er gitt ved \\ $ F (t, \theta) = 1 - \exp (-t / \theta) $.


\begin{punkt}
Skriv ned et uttrykk for likelihood-funksjonen for $ \theta $ for de gitte dataene.

\end{punkt}

\begin{punkt}
Utled et uttrykk for maksimum likelihood estimatoren for $ \theta $ basert på de gitte dataene.

\end{punkt}



\end{oppgave}






\begin{oppgave}

Det er gjennomf\o rt en klinisk studie for \aa\ evaluere effekten av kjemoterapi for en bestemt krefttype. Etter \aa\ ha n\aa dd en tilstand av komplett remisjon (bortfall av kreftsymptomer) gjennom behandling, ble pasientene som deltok i studien randomisert i to grupper. Den f\o rste gruppen fikk vedlikeholdskjemoterapi, mens den andre gruppen (kalt kontrollgruppen) ikke fikk dette. For en forel\o pig analyse i løpet av studien var dataene som f\o lger: \\
 Lengde av komplett remisjon (i uker).
 
\textit{Vedlikeholdsgruppe}: 9, 13, $13^+$,  23, $24^+$,  34, $45^+$, 55,  $161^+$ \\
\textit{Kontrollgruppe}: 5, 13, 13, $16^+$, 20, 21,  43, 45\\
$+$ indikerer sensurert observasjon.

\begin{punkt} 
Hva betyr det (generelt) at en observasjon er sensurert? \\
 Hva er typiske \aa rsaker (generelt) til at et datasett inneholder sensurerte observasjoner?
\end{punkt}

\begin{punkt}
La $ R_{M} (t) $ og $ R_{C} (t) $ v\ae re overlevelsesfunksjonene for lengden av remisjon for henholdsvis vedlikeholdsgruppen og kontrollgruppen. Beregn Kaplan-Meier (KM) estimatorer for $ R_{M} (t) $ og $ R_{C} (t) $ og tegn dem i den samme grafen. Sammenlign KM-kurvene. Hvilken gruppe synes \aa\ ha den beste remisjonslengden (kreftfri overlevelse)?
\end{punkt}




\begin{punkt}

Forklar hvordan man kan bruke logrank-testen for \aa\ teste nullhypotesen  at
 remisjonslengden for pasienter i vedlikeholdsgruppen og kontrollgruppen har samme overlevelsesfordeling. Det forventede totale antallet hendelser (slutt på remisjonstilstand) for vedlikeholdsgruppen er 7.73 og for kontrollgruppen 4.27. Bruk disse resultatene til \aa\ beregne testobservatoren og utf\o r testen med signifikansniv\aa\ 5 \%. Hva konkluderer du om hvorvidt de to gruppene har samme overlevelsesfordeling for remisjonslengden?
 
\end{punkt}

Man vil bruke en Cox-modell for dataene. \\\\
 La den eneste kovariaten v\ae re behandling, representert ved variabelen $ x $ med verdier $ 1 $ for vedlikeholdsgruppen og $ 0 $ for kontrollgruppen.
 



\begin{punkt}

Skriv ned en enkel Cox-modell som leder til en test for denne situasjonen. Formuler en nullhypotese og en alternativ hypotese for \aa\ teste om de kreftfrie overlevelsestidene er de samme for de to gruppene. \\ (Du bes ikke om \aa\ utf\o re testingen eller skrive ned den partielle likelihooden).



Denne testen ble utf\o rt i R og resultatet er gitt p\aa\ neste side: \\

\begin{verbatim}
coxph(formula = Surv(time, status) ~ trt, data = data)

     coef exp(coef) se(coef)     x       p
trt -1.06       0.347    0.636  -1.67   0.096

Likelihood ratio test = 2.92  on 1 df, p=0.0873  n= 17, number of events= 12 
\end{verbatim}
Bruk denne informasjonen til \aa\ konkludere om den kreftfrie overlevelse er den samme for de to gruppene.

\end{punkt}



\end{oppgave}




\begin{oppgave}

Betrakt en komponent hvor feiltiden $T$  har overlevelses(p\aa litelighets)funksjon
 \begin{equation} 
R(t;\alpha, \theta) = \frac{1}{1 + (\frac{t}{\theta})^\alpha} \quad \text{for} \quad t>0
\end{equation}
der $\alpha >0$ og $\theta > 0$ er  parametrer.


\begin{punkt}
La den $p$te kvantilen $t_{p}(\alpha, \theta)$ for $T$ v\ae re gitt ved $P(T\leq t_{p}(\alpha, \theta) ) = p$ for $0<p<1$.\\
Vis at
\begin{equation*} 
\ln t_{p}(\alpha, \theta) = \ln \theta + \frac{1}{\alpha} \ln \frac{p}{1-p}
\end{equation*}
der ln er den naturlige logaritmen. \\
 Utled et uttrykk for medianen i fordelingen til $ T $. \\
Finn ogs\aa\ uttrykket for den f\o rste og den tredje kvantilen, ($ Q1 = t_{0,25} $ og $ Q3 = t_{0,75} $).


\end{punkt}

\begin{punkt}
Vis at hasardfunksjonen (feilrate-funksjonen) for $ T $ er gitt ved
\begin{equation*} 
z(t;\alpha, \theta) = \frac{\alpha t^{\alpha-1} }{\theta^{\alpha} + t^{\alpha}} \quad \text{for} \quad t>0.
\end{equation*}
\end{punkt}



\end{oppgave}

\vspace{2.5cm}

{\bf{Oppgave 4}} er p\aa\ neste side.


\newpage

\begin{oppgave}

Man har registrert feil på en spesiell ventil til tid $ \tau = 900 $ dager etter start.
  F\o lgende data ble observert (feiltider i dager etter start):

 $ 270, 520, 700, 810, 860 $

 Det antas at feiltidene f\o lger en ikke-homogen Poisson-prosess (NHPP).

 \begin{punkt}
 Hvordan ville du estimere den kumulative intensiteten $ W (t) $ n\aa r det ikke gj\o res  parametriske antagelser? Tegn den estimerte kurven for $ W (t) $. \\
 Indikerer plottet en trend i feilintensiteten? \ \
 Gjennomf\o r Laplace-testen for \aa\ unders\o ke om det er en trend i feiltidene. \\
 Hva er din konklusjon hvis du bruker $ 5 \% $ signifikansniv{\aa}?


\end{punkt}



\begin{punkt}
Anta at ROCOF $ w (t) $ for feilprosessen er
\begin{equation}
w(t) = e^{\alpha + \beta t} \quad \text{for} \quad t>0 
\end{equation}
der $ - \infty <\alpha < \infty $ og $ - \infty < \beta < \infty $ 
er ukjente parametrer. \\
 Hva kalles denne modellen? Hva er den kumulative ROCOF for denne modellen? \\
 Hva er svarene p\aa\ de to foreg\aa ende sp\o rsm\aa lene hvis $ \beta = 0 $?
\end{punkt}

\begin{punkt}
Skriv ned log-likelihooden for modellen n\aa r $ w (t) $ er gitt ved ligning (2). Bruk log-likelihooden til \aa\ skrive ned de ligningene som vil bestemme maximum likelihood estimatene (MLE) for $ \alpha $ og $ \beta $. (Du trenger ikke \aa\ l\o se disse ligningene.)

\end{punkt}


\begin{punkt}
La $ N(\tau) $ v\ae re antall feil inntil tid $ \tau = 900$ dager. Vis at MLE for $ \alpha$ tilfredsstiller
\begin{equation*}
%\alpha^{\star} = \ln (\frac{N(\tau)\cdot \beta^{\star}}{\exp(\beta^{\star} \tau\)-1})
\hat{\alpha} = \ln \Big( \frac{N(\tau) \cdot \hat{\beta}}{\exp(\hat{\beta} \cdot \tau) -1} \Big)
\end{equation*}
der $\hat{\beta}$ er MLE for $\beta$. Beregn $ \hat{\alpha} $ for det gitte datasettet n\aa r du f\aa r vite at $ \hat{\beta} = 0.003$. \\
 Tegn den estimerte kurven for forventet antall feil som funksjon av tid i den samme grafen som plottet i (a). \\
Virker det som modellen i (2) gir en rimelig tilpasning til dataene?

\end{punkt}



\end{oppgave}






\end{document}

\begin{punkt}
Show that (1)  defines a log-location-scale family, i.e. that $Y=\ln T$ has a cumulative distribution function of the form
\begin{equation*} 
F_{Y}(y) = P(Y\leq y) = \Phi_{0} \Big(\frac{y-\mu}{\sigma}   \Big)
\end{equation*}
for some cumulative distribution function  $\Phi_{0}$ and constants $\mu$ (location) and $\sigma$ (scale). 
Write down the expression for $\Phi_{0}$ and the parameters $\mu$  and $\sigma$ as functions of $\alpha$ and $\theta$.\\
Name the distribution which has $\Phi_{0}$ as cumulative distribution function.\\
What is the name of the corresponding family of distributions for $T$ ?
\end{punkt}


